[基本概念1] 基本邏輯概念1

我們可以將語句（sentence）分為兩種：單句和複句。前者如「安家是gay」，後者如「安家是gay，而且安家讀哲學系」。單句是最基本的語句，而複句是一或多個單句藉著語句連接詞（sentence connectives）所組成的長句。

一、連言

使用語句連接詞「並且」所形成的複句，稱作連言。例如「安家是gay，並且安家讀哲學系」便是。我們分別令A、B為「安家是gay」、「安家讀哲學系」，則「安家是gay，而且安家讀哲學系」便可符號化為「A∧B」。而只有在A與B同時為真時，我們才說A∧B真；反之，如果A、B至少有一個為假，我們就說A∧B假。

我們可以整理出A∧B的真值表：（T是真，F是假）

A	B	A∧B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

注意，進行符號化翻譯時，不能以表面的用字為準，而該考量該句的真正意思。例如「安家讀哲學系，但安家卻是gay」，這裡用「但」只是轉折語氣，使用「∧」翻譯雖然會喪失這個表達的用意，但在語句邏輯，真正重要的是語句意義的真值函數部分。而「師兄和大師兄同屬一間哲學系的學生」並不能譯為「師兄是一間哲學系的學生，而且大師兄是一間哲學系的學生」，因為後句並沒有表達他們兩人同屬一間哲學系的學生。然而，「師兄和大師兄同屬上課很愛睡覺的學生」，卻可譯為「師兄是上課很愛睡覺的學生，而且大師兄是上課很愛睡覺的學生」。似此等細節應該很容易領略，讀者應該有能力自行判斷其他語句與其他語句連接詞的情況。

二、否定句

使用語句連接詞「並非」所形成的語句，稱為否定句。例如「並非安家是gay」，令「安家是gay」為G，則「並非安家是gay」便為¬G，否定符號只能也只須加在一個語句前面，儘管我們還是將之稱為語句連接詞。當G假時，¬G便真；當G真時，¬G便假。

我們可以整理出¬A的真值表：

A	¬A
T	F
F	T

三、選言

使用語句連接詞「或」所形成的複句，稱作選言句。例如「安家是gay，或者安家讀哲學系」便是，譯作「A∨B」。注意日常語言使用「或」是有歧義的，「小明的喪禮在這禮拜一舉行，或者是下禮拜一」，一般脈絡來說，這話的意思是其中一個禮拜一，但不會兩個禮拜一都舉行一次；但有時說「安家是gay，或者安家讀哲學系」是在表達兩者至少有一為真，也就是可以同時皆真。

一般未特別加以說明時，哲學上或邏輯學上都是以兼容（inclusive）的方式來表達「或」（∨），也就是說，我們說「安家是gay，或者安家讀哲學系」時，就是在表達兩者至少有一為真。事實上我們依然可以表達排斥（exclusive）含義的「或」，例如「小明的喪禮在這禮拜一舉行，或者是下禮拜一，但不會兩個禮拜一都舉行」可以譯為「(A∨B) ∧ ¬ (A∧B)」。

我們可以整理出選言的真值表：

A	B	A∨B
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

四、實質條件句

試考慮語句「如果小明考上台大，則爸爸會給小明一百萬」，這種「如果……，則……」的複句便稱為條件句，譯作「A→B」。

我們給出的真值表是：

A	B	A→B
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

其實這個真值表並不一定能捕捉到我們日常語言使用「如果……，則……」的意義與用法。這甚至在哲學上成為重大難題，也有諸如反事實條件句等的討論。

考慮這個條件句：「如果安家明天上火星，則安家就不gay了」，譯為「若A則B」，而師兄打賭這句為真，師妹打賭這句為假。一共會有四種情況：

1.     安家明天果真上了火星，而且依舊gay爆了。A真B假，這種情況下說師妹賭贏了，應該是毫無爭議。

2.     安家沒上火星，但依舊gay gay的，A、B皆假。這時候如果師兄同意自己輸了，恐怕不太聰明。他可以爭論說，這個條件句只是說，如果安家這天真的上了火星，則安家就不gay了。由於安家這天並沒有上火星，所以這句話未必就是假的。

同理，如果師妹同意自己輸了恐怕也不明智。她可以爭辯說，雖然安家沒上火星，但這個條件句只是說，如果安家這天真的上了火星，則安家就不gay了。由於安家這天並沒有上火星，我們也不能說這個條件句為真。

這例子顯示條件句的前後句都為假時，決定條件句的真假值看來是有爭議而困難的，而同樣的問題也出現在前件假後件真時，甚至前件真後件真的情況都可以議論。

這些爭論我們在這不談，但可以確立的是，當前件真而後件假時，我們就可以說整個條件句為假。暫時你可以以規定的方式來理解，我們只是將「若A則B」的用法規定為「只有在A真B假時，這整句才為假；只要不是A真B假時，這整句就為真」，稱之為實質條件句（material conditional）或實質蘊含句（material implication）。你當然可以爭論，有時你在說「若A則B」並不是這樣意思，這還有其他邏輯上的不少爭論，也有反事實條件句的用法等，只要在你使用時清楚解釋你的意思就好。

五、雙條件句

我們說「安家是gay，若且唯若，安家讀哲學系」，其中「若且唯若」即是語句連接詞雙條件句，符號化為「A ↔B」。這話的意思是說，「安家是gay」與「安家讀哲學系」兩句會有相同的真假值；有就是說，當兩句皆真或兩句皆真時，這整句才為真，而當兩句的真假值不同時，這整句就為假。同時，這意思也正好是，「如果安家是gay，則安家讀哲學系；並且，如果安家讀哲學系，則安家是gay」。

雙條件的真值表是：

A	B	A↔B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

六、充分條件、必要條件、充分必要條件

我們說A是B的充分條件，就是在說A真時B一定為真；說A是B的必要條件，就是在說B真時A便為真；說A是B的充分必條件，就是在說A真時B便真，並且B真時A便真，同樣的，A假時B便假，B假時A便假。

口訣：充分條件是「有之必然，無之不必然」；必要條件是「有之不必然，無之必不然」；充分必要條件是「有之必然，無之必不然」。

例如，「x>5」是「x>3」的充分條件，「x>3」是「x>5」的必要條件，「x>3+3」是「x>12/2」的充分必要條件。又如，「x是人」是「x有體重」的充分條件，「x有體重」是「x是人」的必要條件。

很容易可以看出，當A是B的充分條件時，B就必是A的必要條件；反之當A是B的必要條件時，B就必是A的充分條件；也可以說，「A是B的充分條件」是「B是A的必要條件」的充分必要條件。

最後，當我們在說「若A則B」（A→B）時，就是在說「A是B的充分條件」；我們在說「A若且唯若B」（A↔B）時，就是在說「A是B的充分必要條件」。

七、括號

試考慮這個數學式：6÷3×2=1。這個式子正確嗎？這式子有岐義，我們可以使用括號消除岐義：(6÷3)×2=4、6÷(3×2)=1。

同理，A∧B∨C可以有(A∧B)∨C與A∧(B∨C)兩種讀法，而兩個句話的真假值不一定相同，因此這種情況下需要使用括號來表明清楚語句連接詞的控制範圍。

註：一般數學規定6÷3×2該由左至右運算，在這樣規定下可以使6÷3×2只有單一方式理解，但不使用括號我們無法表達6÷(3×2)。

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我覺得這篇是近年來打完最沒意義感的文章……