Spinoza（一）：歐幾里得的《幾何原本》

相當著名地，哲學家Spinoza仿照歐幾里得《幾何原本》的寫法，完成其最重要的哲學著作《倫理學》。本文旨在簡短介紹《幾何原本》。

什麼是幾何學（geometry）？簡單地說，關於空間的數學研究。

最熟悉的例子恐怕就是畢氏定理，畢氏定理是幾何學的重要定理。知道畢氏定理以後，如果還知道從家裡到全家（距離為a）與從全家到教室（距離為b）的路線正好成直角，那你就大概能推出 a²+b²=c² （家裡到教室的距離為c）。

現代數學有多少種幾何學的領域，本文便不多做介紹，有興趣請自行搜尋。回到《幾何原本》，《幾何原本》是人類文明最重要的著作之一，對西方科學影響極深，難以言喻。

《幾何原本》共13卷，有465個命題（propositions），卷一到卷六的主要內容為平面幾何。其中卷一給出重要的23個定義（definitions）、5條公設（postulates）、5個公理（common notions），《幾何原本》的著名之處，便是許多幾何學命題僅僅從這些便能推得，因而這些命題也被稱作定理（theorems）。原則上不必理會歐幾里得公設與公理的區分，都理解為公理（axioms）即可，意思是不必證明便可接受的。

其中重要的定義如：

1. 點是沒有部份的。

2. 線只有長度而沒有寬度。

3. 一線的兩端是點。

4. 直線是它上面的點一樣的平放的線。

5. 面只有長度和寬度。

6. 面的邊緣是線。

7. 平面是它上面的線一樣的平放的面。

15. 圓是由一條線包圍的平面圖形，其內有一點與這條線上的點連接成的所有線段都相等。

16. 而且把這個點叫做圓心。

20. 在三邊形中，三條邊相等的，叫做等邊三角形；僅兩條邊相等的，叫做等腰三角形；各邊不相等的，叫做不等邊三角形。

23. 平行線是在同平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交。

其中的5條公設與5個公理即：

公設

1.      由任意一點到任意一點可作直線。

2.      一條有限直線可以繼續延長。

3.      以任意點為心及任意的距離可以決定一個圓形。

4.      凡直角都相等。

5.      若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

P為圖中線外的一點

（第五公設等價於「過線外一點恰好能畫出一條平行線」，如下面中圖；而左圖是把第五公設改為「過線外一點能畫出多條平行線」，右圖則是「過線外一點無法畫出平行線」。）

公理

1.      和同一物相等的物彼此相等。

2.      等量加等量，其和仍相等。

3.      等量減等量，其差仍相等。

4.      能重合的物是相等的。

5.      整體大於部份。

現在來看看《幾何原本》的命題1：給定一條已知線段，可以畫出一個等邊三角形。

令AB為給定的已知線段，那麼三角形ABC是我們想畫出來的。

首先，根據公設3（給定一點與一段長度便能畫出一圓），因此我們可以各以A點與B點為圓心，AB線段為半徑，各作一圓。而根據公設1（任兩點間可作一直線），兩圓上方的交點C可以與A、B兩點各劃出一條相連的線段。而且因為AB與AC都是左圓的半徑，根據定義15（圓心到圓上任一點的距離都會相等），AB = AC。同理，AB = BC。最後，根據公理1（和同一物相等的物彼此都會相等），當AB = AC且AB = BC時，必定AC = BC。

接著再看看命題2：給定一條已知線段與不在線上的一點，可從該點畫出一條與此已知線段等長的線段。

最簡單的方式自然是拿把尺記下BC長度，然後再在A點畫出BC長度的線段即可。不過，歐幾里得希望能把用到的假設降到最低，最好只需要從23個定義與5公設5公理便能建立整個幾何學系統。他的做法是：

根據公設1，我們可以畫出AB線段。而我們在命題1已經證明過，給定一個已知線段，可以畫出一個等邊三角形，因此我們可以畫出這樣一個等邊三角形ABD。（命題1的那兩個圓是我畫完後擦掉的。）

接著，根據公設2（一條有限直線可以繼續延長），我們可以延伸DA線段與DB線段。

接著還是根據公設3，以B為圓心，BC為半徑，作圓。

再根據公設3，以D為圓心，DG為半徑，作圓。

此時，由於DH與DG是大圓的半徑，根據定義15，DH = DG。因為DA與DB都是等邊三角形DAB的邊，根據定義20，因此DA = DB。而根據公理3（等量減等量，其差相等），因此，

DH – DA = DG – DB，也就是說，AH = BG。根據定義15，BG = BC。最後，根據公理1，當AH = BG且BG = BC時，必定AH = BC。

至此讀者應該能掌握《幾何原本》幾何學的特色了，也就是高度縝密，要求每一步的推論或作法都是奠基於定義與不證自明公理，或者是由這些所推導出來的定理。沒有含糊空間，沒有任何天外飛來的一筆，或者是「對哦，其實我這裡還預設了……」。這種完全只從定義與公理出發，進行嚴密推導的做法被稱作公理化方法。（公理系統還有些基本要求，如獨立性、完備性、相容性等，作為入門文章我就不介紹這些了。）而因為這些是演繹的推論形式，其所奠基的定義與公理又是病態性地極力被刪減，因而這樣的公理系統有種獨特的美感，也令人難以置信：竟然可以從寥寥數個看起來毫無疑問的定義與公理，便能嚴密地導出這麼多的幾何學成果。愛因斯坦在12歲時初次閱讀了《幾何原本》，簡直如獲至寶，廢寢忘食一步步把它證完。當時的激動，愛因斯坦永生難忘。

為什麼要公理化？

我前文提過，公理化方法的許多要求可說是相當病態的。也因為如此，我們的數學教育方式並不是公理化的形式（而且曾經嘗試過，結果下場很淒慘）。人類最快速、自然的把握方式本來就不是公理化形式，從本文所介紹的命題1與命題2的推導，你大概會認為許多步驟與根據是清楚明顯到不須贅言的，甚至覺得命題本身根本連證明都不必。但即使是數學家，有時候也會在做數學證明時預設一些直覺上認為很明顯對的假設，甚至根本沒有意識到這件事，但其實卻搞錯了。更慘的是，還出現過數學家認為很明顯為真的一些預設，彼此放在一起卻發生了衝突，最有名的就是引發第三次數學危機的羅素悖論。

公理化是一種相當嚴謹的做法，想盡辦法淬鍊出最少的公理，清楚地條列出這個系統所用上的公理。梳理得整齊簡潔後，清楚說明自己的各個推論步驟是用上什麼推論規則與公理，才容易察覺與避免弊端，甚至還可以進一步嘗試證明其相容性、完備性、獨立性等。

其他

與Spinoza比較不直接相關的我就不在本文談論太多。但值得一提的是：

1.     關於《幾何原本》的第五公設（又被稱為平行公設）：若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。第五公設等價於「過線外一點恰好能畫出一條平行線」，即中圖，被稱為歐氏幾何。

因為平行公設的描述完全不像其他公設那般簡潔而清楚明白，數千年來，多少人嘗試想將平行公設修改得更加簡潔清楚點，或者想從前四個公設推導而出，全都無功而返，此即赫赫有名的平行公設難題。有趣的是，似乎連歐幾里得本人也不滿這個公設，直到第29個命題才像是迫不得已得用上，而且之後也不用了。這個難題甚至在後世引發了重大衝擊，一連牽動了數學、物理學與哲學，以後我會另闢文章專談。

2.     現代數學家仍認為歐幾里得的一些定義與公理不夠清楚或簡潔，甚至有瑕疵，改以其他的表達方式或使用上後世的數學工具，有興趣的請自行查資料。然而，《幾何原本》確實是展現人類智性的一部精彩作品，我甚至認為一生沒讀過一次實在可惜。

  

參考資料：

1.      《爺爺的證明題：上帝存在嗎？》，2013，洪萬生洪、洪贊天、林倉億譯

2.      數學資料庫的文章〈《幾何原本》第一卷的定義與公理〉

3.      西方文明中的歐幾里德

4.      維基百科

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1.      《爺爺的證明題：上帝存在嗎？》，2013，洪萬生洪、洪贊天、林倉億譯